如上设出 $A(t)$, 下证其为唯一解且有界.

1. 先证 $A(t)$ 在任一有限区间上有界.

由定理 2.10.1 的推论 2 知 $m(t)$ 有界, 于是

2. 再证 $A(t)$ 为更新方程的解.

其中关于分布卷积的性质见 2.9 节的说明.

3. 最后证明解的唯一性.

3.1 $A$ 的展开

3.2 第三项的极限

由定理 2.10.1 的推论 2, 有

而 $A(t)$ 有界, 于是有

3.3 第二项的极限

同样的, 由

且 $a(t)$ 有界, 于是有

从而得到

证毕.